3.14. Возмущённое движение


3.14.1. Возмущающая сила

Движение небесных тел в соответствии с законами Кеплера (решение задачи двух тел) называется невозмущённым. В действительности все тела Солнечной системы притягиваются не только Солнцем, но и друг другом. Поэтому ни одно тело в Солнечной системе не движется точно по эллипсу, параболе, гиперболе или окружности.

Отклонения в движениях тел от законов Кеплера называются возмущениями, а реальное движение тел – возмущённым движением. Возмущённое движение тела можно представлять как движение по законам Кеплера с переменными элементами орбиты.

Возмущения (т. е. зависимости элементов орбиты от времени) описываются суммой линейной и множества периодических функций с различными значениями периодов. Линейные слагаемые называются вековыми возмущениями, а все остальные – периодическими. Коэффициенты в функциях, ответственных за возмущения, как правило, очень малы, однако за достаточно большой промежуток времени вековые возмущения могут стать сколь угодно большими.

Наибольший интерес представляют вековые возмущения больших полуосей, эксцентриситетов и углов наклона орбит планет, поскольку именно они определяют характер устойчивости Солнечной системы.

Как следует из теории движения планет, вековые возмущения элементов орбит a, e и i чрезвычайно малы, и есть основания полагать, что Солнечная система устойчива по крайней мере в течение весьма длительных промежутков времени, возможно достигающих даже нескольких миллиардов лет.

Другие элементы орбит – долгота восходящего узла и долгота перицентра – подвержены значительным вековым возмущениям, но практически не изменяют общую конфигурацию Солнечной системы.

Уточнение теории движения планет приводит к появлению квадратичных и кубических по времени возмущений элементов орбит. Возможно, что сумма таких возмущений может представлять собой начальные слагаемые разложения в степенной ряд некоторой периодической функции. В этом случае изменение всех элементов будет ограниченным.

Определение возмущающей силы и возмущающего ускорения

Пусть имеется система трех тел, состоящая из центрального тела (притягивающего) массой М (например, Солнце), тела массой m1, движущегося относительно этого тела (планета Р1) на расстоянии r1, и возмущающего тела массой m2 (планета Р2) на расстоянии r2. Рассмотрим движение планеты P1 относительно Солнца. Напомним, что система отсчета, связанная с Солнцем будет неинерциальной, поскольку Солнце само движется с ускорением под воздействием двух других тел.

Солнце получает ускорение w1 = Gm1/r12 от планеты Р1 и ускорение w2 = Gm2/r22 от планеты Р2. Соответственно планета Р1 получает ускорение w'1 = GM/r12 от Солнца и ускорение w' = Gm2/r2 от планеты Р2. Тогда в системе отсчета, связанной с Солнцем, движение планеты Р1 будет происходить с ускорениями: w = w1 + w'1 = G(M + m1)/r12 , w' = Gm2/r2 и w" = –w2 = –Gm2/r22. Если первое ускорение обусловливает движение Р1 по законам Кеплера, то два последних как раз и дают возмущающее ускорение и, соответственно, возмущающую силу.

Возмущающая сила, а, следовательно, и вызываемое ею возмущающее ускорение определяются разностью действия возмущающего тела Р2 на М и Р1. Таким образом, возмущающее ускорение wвозм выглядит так:

wвозм = w' + w" = w'w2 .

Это ускорение меняется по величине и направлению, т. е. величина и направление возмущающей силы вследствие движения тел непрерывно меняются. Если |wвозм| << |w| , то действием возмущающего тела Р2 можно пренебречь.


3.14.2. Приливы и отливы как результат действия возмущающей силы


Пример одного из проявлений возмущающей силы – приливы и отливы земной поверхности. Поскольку размеры Земли конечны, то независимо от ее формы, силы лунного (и солнечного) притяжения на разные точки Земли неодинаковы. В результате появляется возмущающая сила, зависящая от расстояний и направлений от точек поверхности до притягивающего тела.

Схема образования приливов и отливов

Точка A находится ближе к Луне, чем центр Земли, и, следовательно, испытывает меньшее результирующее ускорение относительно центра Земли. Точка В находится дальше от Луны, чем центр Земли, и также испытывает меньшее результирующее ускорение относительно центра Земли.

Таким образм, в точках А и В действие Луны уменьшает силу тяжести на земной поверхности. В точках F и D действие Луны, наоборот, увеличивает силу тяжести на поверхности Земли.

Итак, под действием лунного притяжения водная оболочка Земли принимает форму эллипсоида, вытянутого по направлению к Луне. Вблизи точек А и В будет прилив, а вблизи точек F и D – отлив.

Вследствие вращения Земли приливная волна бежит по поверхности океана. За промежуток времени между двумя последовательными верхними (или нижними) кульминациями Луны, равный в среднем 24h52m, приливные выступы дважды обойдут вокруг всего земного шара.

Под действием солнечного притяжения водная оболочка Земли также испытывает приливы и отливы, величина которых в 2,2 раза меньше лунных.

Во время новолуний и полнолуний солнечный и лунный приливы происходят в «фазе» и наблюдается самый большой прилив. Во время первой и последней четвертей в момент лунного прилива происходит солнечный отлив, и наблюдается наименьший прилив. Приливы и отливы испытывает земная атмосфера, а также земная кора.

Галилеевы спутники Юпитера: Ганимед, Европа и Ио

3.14.3. Орбитальные и спин-орбитальные резонансы


Система Глизе 876

Возмущающая сила может приводить к возникновению орбитального и спин-орбитального резонансов. Орбитальный резонанс наблюдается в том случае, когда периоды обращения двух или более небесных тел относятся как небольшие натуральные числа. Орбитальные резонансы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. В первом случае небесное тело стабилизируется на резонансной орбите. Во втором – избегает резонансной орбиты. Спин-орбитальный резонанс заключается в синхронизации периодов обращения одного небесного тела относительно другого и вращения первого небесного тела вокруг своей оси.

Щели Кирквуда

В устойчивых орбитальных резонансах находятся, например, Плутон и Нептун (2:3), троянские астероиды и Юпитер (1:1), галилеевы спутники Юпитера Ио, Европа и Ганимед (1:2:4), планеты b, c и e красного карлика Глизе 876 (созвездие Водолея, 15 св. лет) и др. небесные тела. Примерами неустойчивых орбитальных резонансов служат «щели Кирквуда» в распределении орбит астероидов главного пояса, деление Кассини (промежуток между внешними кольцами Сатурна). В спин-орбитальных резонансах находятся Меркурий и Солнце (2:3), Луна и Земля (1:1), многие другие спутники планет, например, галилеевы спутники Юпитера (1:1).



3.14.4. Гравитационные манёвры для ускорения и торможения космических аппаратов


Гравитационный манёвр для ускорения КА

Гравитационный манёвр для торможения КА

Гравитационный манёвр заключается в ускорении, торможении или изменении направления движения КА в результате возмущения его движения в гравитационном поле небесного тела (планеты). Используется для экономии топлива и дополнительного разгона КА при полётах к дальним планетам Солнечной системы.

В зависимости от направления движения и скорости КА относительно небесного тела, КА может получить дополнительное положительное или отрицательное ускорение (относительно Солнца).

Гравитационные манёвры, в частности, четырежды использовались при полёте КА «Кассини» к Сатурну в 1997–2004 годах.